คณิตศาสตร์ม.1 การบวกลบพหุนาม

                                       การลบพหุนาม

ก่อนที่จะนำเสนอเรื่องการลบพหุนาม เรามาทำความรู้จักกับ พหุนามตรงข้ามก่อน

พหุนามที่ตรงข้ามกับพหุนาม 2$2$ คือ −2$-2$

พหุนามที่ตรงข้ามกับพหุนาม 5x$5x$  คือ −5x$-5x$

พหุนามที่ตรงข้ามกับพหุนาม −10x$-10x$  คือ 10x$10x$

พหุนามที่ตรงกันข้ามกับพหุนาม  x−4$x-4$  คือ  −x+4$-x+4$

พหุนามที่ตรงกันข้ามกับพหุนาม  −x+5$-x+5$   คือ  x−5$x-5$

พหุนามที่ตรงกันข้ามกับพหุนาม 10x2+10x+1$10x^2+10x+1$ คือ −10x2−10x−1$-10x^2-10x-1$

พหุนามที่ตรงกันข้ามกับพหุนาม x2−7xy−6$x^2-7xy-6$  คือ  −x2+7xy+6$-x^2+7xy+6$

หรือพูดง่ายๆคือการหาจำนวนตรงข้ามก็คือการเปลี่ยนเครื่องหมายนั้นเอง

จาก −x$-x$ จำนวนตรงข้ามก็คือ x$x$  จากลบกลายเป็นบวก

จาก 10x$10x$ จำนวนตรงข้ามก็คือ −10x$-10x$   จากบวกกลายเป็นลบ

การหาผลลบของพหุนามสองพหุนาม ทำตามข้อตกลงดังนี้

พหุนามตัวตั้ง −$-$  พหุนามตัวลบ  =$=$  พหุนามตัวตั้ง +$+$ พหุนามตรงข้ามของพหุนามตัวลบ

ตัวอย่างเช่น

5x−(−4x)$5x-(-4x)$  =$=$ 5x+4x=9x$5x+4x=9x$  ( เปลี่ยนเครื่องหมายลบที่อยู่หน้า  −4x$-4x$  เป็นเครื่องหมายบวก และเปลี่ยนตัวที่อยู่ข้างในวงเล็บเป็นจำนวนตรงข้าม เช่นจากตัวอย่างจาก −4x$-4x$  กลายเป็น  4x$4x$)

ง่ายไหมครับ concept การลบพหุนามมีแค่นี้ครับ ต้องอ่าน concept ให้เข้าใจน่ะครับ ย้ำเรียนวิชาอะไรก็ตามต้องเข้าใจ concept หลักๆของมันก่อนน่ะครับ ถ้าเข้าใจแล้วสบายเลยที่นี้ ไม่ว่าโจทย์จะออกมายังไงก็ทำได้ครับ สู้ๆๆ

ตัวอย่างที่ 1  จงหาผลลบของ (2x−13)−(−9x)$(2x-13)-(-9x)$

วิธีทำ

(2x−13)−(−9x)=(2x−13+9x)$(2x-13)-(-9x)=(2x-13+9x)$     (ต่อไปก็จับพจน์ที่คล้ายกันมาบวกหรือมาลบกันครับ)

=2x+9x−13$=2x+9x-13$

=11x−13$=11x-13$

ตัวอย่างที่ 2  จงหาผลลบของ 8x−(10x−5)$8x-(10x-5)$

วิธีทำ

8x−(10x−5)=8x+(−10x+5)$8x-(10x-5)=8x+(-10x+5)$

=8x+(−10x)+5$=8x+(-10x)+5$

=[8+(−10)]x+5$=[8+(-10)]x+5$

=−2x+5$=-2x+5$

ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลลบของ  (−14x−1)−(6x−12)$(-14x-1)-(6x-12)$

วิธีทำ

(−14x−1)−(6x−12)=(−14x−1)+(−6x+12)$(-14x-1)-(6x-12)=(-14x-1)+(-6x+12)$

=−14x−1+(−6x)+12$=-14x-1+(-6x)+12$

=−14x+(−6x)+12−1$=-14x+(-6x)+12-1$

=[(−14)+(−6)]x+11$=[(-14)+(-6)]x+11$

=−20x+11$=-20x+11$
$\mathrm{<span\; style="background-color:\; lime;\; font-size:\; medium;\; white-space:\; normal;">คงเข้าใจขึ้นบ้างน่ะครับ\; ค่อยๆอ่านเดียวเข้าใจเอง\; พยายามเขียนที่ละ\; step\; แล้วน่ะครับ\; ไม่มีลัดขึ้นตอนเลย</span>}$

การบวกพหุนาม

การบวกพหุนาม...เรื่องนี้ไม่ยากคับ...มีหลักการง่ายๆคือ....จับพจน์ที่คล้ายกันในมาบวกกันเลยคับ...หลักการง่ายๆแค่นี้คับ...ไม่ต้องไปคิดมากให้มันปวดหัว....จับประเด็นหลักของมันให้ได้...ไปดูตัวอย่างคับ

จงหาผลบวกของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) −12x+15$-12x+15$ และ 5x$5x$

วิธีทำ

จากโจทย์จะได้

−12x+15+5x$-12x+15+5x$ ที่นี้เราก็ดูว่าพจน์ไหนที่มันคล้ายกัน...จะเห็นว่า -12x คล้ายกับ  5x แสดงว่าสองพจน์นี้จับบวกกันได้ ส่วน 15 ไม่คล้ายกันใครเลย...ก็ไม่ต้องทำอะไรมัน...ปล่อยมันทิ้งไว้เหมือนเดิม...น่ะ

(−12x+5x)+15$(-12x+5x)+15$

(−12+5)x+15$(-12+5)x+15$

−7x+15$-7x+15$ เสร็จแล้วคับง่ายๆ...จับหลักของมันให้ได้....ก็ไม่ยาก...ง่ายมาก

2) −8$-8$ และ x−6$x-6$

วิธีทำ

จากโจทย์จะได้

−8+x−6$-8+x-6$ เหมือนเดิมคับ...ดูซิว่าพจน์ไหน...คล้ายกัน...จะเห็นว่า x มันไม่คล้ายกับใครเลย...ก็ไม่ต้องทำอะไรมัน..ปล่อยมันทิ้งไว้เหมือนเดิม...ส่วน -8 กับ -6 ก็จับมันมาบวกลบกันธรรมดาคับ...จะได้

−8−6+x$-8-6+x$

−14+x$-14+x$ เสร็จแล้วง่ายๆ...คับ

3)−9x+4$-9x+4$ และ 5y$5y$

วิธีทำ

จากโจทย์จะได้

−9x+4+5y$-9x+4+5y$ จะเห็นได้ว่าทั้งสามพจน์...ในโจทย์ไม่มีพจน์ไหนเลย...ที่คล้ายกัน...ดังนั้นข้อนี้บวก...ลบ...กันไม่ได้คับ...คำตอบก็คือเอาโจทย์มาตอบเหมือนเดิม...คับ...ดังนั้นข้อนี้...ตอบ

−9x+4+5y$-9x+4+5y$

4)3s+5st$3s+5st$ และ −9s−3st$-9s-3st$

วิธีทำ

จากโจทย์จะได้

3s+5st+(−9s)−3st$3s+5st+(-9s)-3st$ จะเห็นว่า...มีคู่สองคู่ที่คล้ายกัน...สามารถนำมาบวก...ลบกันได้คือ...3s กับ -9s และ 5st กับ -3st   ดังนั้น...เราก็จับคู่สองคู่นี้...บวก...ลบกันเลยคับ....จะได้

3s−9s+5st−3st$3s-9s+5st-3st$

(3−9)s+(5−3)st$(3-9)s+(5-3)st$

−6s+2st$-6s+2st$  เสร็จแล้วคับ...ไม่ยาก...แค่จับคู่...พจน์ที่คล้ายกันมาบวก...ลบ...กันเท่านั้นเอง...คับ

เรื่องเกี่ยวกับพหุนาม ไม่ว่าจะเป็น การบวก การลบ พหุนาม หรือว่า การคูณและการหารพหุนาม เป็นเรื่องที่ง่ายมาก ถ้าเราจับ concept เข้าใจ concept มันก็จะทำได้ ไม่ยากครับ ง่ายมากๆเรื่องนี้

สำหรับ concept ในการบวกพหุนาม คือ จับพจน์ที่คล้ายกันมาบวกกันครับ อธิบายมาตั้งนาน มาดูตัวอย่างการบวกพหุนามกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกต่อไปนี้

5x+4x+9x$5x+4x+9x$

วิธีทำ จะเห็นว่าจากโจทย์ทั้ง 3  พจน์นั้นเป็นพจน์ที่คล้ายกันหมดครับ ดังนั้นสามารถที่จะนำมาบวกกันได้เลยครับ วิธีทำทำได้ดังนี้ครับ

จับสัมประสิทธิ์มาบวกกันเลยครับ แล้วก็ตามด้วยตัวแปรครับ ลุยเลยดีกว่า

5x+4x+9x$5x+4x+9x$

=(5+4+9)x$=(5+4+9)x$

=18x$=18x$

ตอบ 18x$18x$

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวกต่อไปนี้

5x+9y+4x+11y$5x+9y+4x+11y$

วิธีทำ จะเห็นได้ว่าทั้ง 4  พจน์ของพหุนามไม่ได้คล้ายกันทั้งหมดน่ะครับ ดังนั้น ทั้ง 4 พจน์นี้ไม่สามารถจะนำมาบวกกันได้เลย เราต้องมาพิจารณาก่อนว่า พจน์ไหนบ้างคล้ายกันแล้วต่อไปค่อยนำมาบวกกันครับ  จากโจทย์จะเห็นได้ว่า 5x คล้ายกัน 4x และ 9y คล้ายกับ 11y  นำแต่ละคู่ที่คล้ายกันมาบวกกันได้เลยครับ จะได้ว่า

5x+9y+4x+11y$5x+9y+4x+11y$

(5x+4x)+(9y+11y)$(5x+4x)+(9y+11y)$  ระหว่างแต่ละคู่ใส่เครื่องหมายบวกน่ะครับ

=9x+20y$=9x+20y$

ตอบ 9x+20y$9x+20y$

ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลบวกต่อไปนี้

5x+(−3x)+11x+(−9x)$5x+(-3x)+11x+(-9x)$

วิธีทำ จะเห็นได้ว่าทั้ง 4 พจน์ของพหุนาม คล้ายกันหมดน่ะครับ ดังนั้นจับสัมประสิทธิ์มาบวกกันได้เลยครับ จะได้

5x+(−3x)+11x+(−9x)$5x+(-3x)+11x+(-9x)$

=[5+(−3)+11+(−9)]x$=[5+(-3)+11+(-9)]x$

=(4x)$=(4x)$
$<strong\; style="font-size:\; large;\; white-space:\; normal;"><span\; style="text-decoration:\; underline;">ตอบ4x</span></strong>$

ที่มาจากhttp://mathpaper.net/index.php/1