คณิตศาสตร์ม.2สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

คณิตศาสตร์ม.2                       

                                 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

สมการซึ่งมี x$x$ เป็นตัวแปรและมีรูปแบบทั่วไปเป็น ax2+bx+c=0$a{x}^2+bx+c=0$ เมื่อ a,b,c$a,b,c$

เป็นค่าคงตัวและ  a≠0$a\ne 0$ เรียกว่า สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

เรื่อง สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ใจความสำคัญของเรื่องนี้ อยู่ที่การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ซึ่งในการแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียวนั้น ไม่ยากครับ   แต่ต้องฝึกทำบ่อยๆ ทำโจทย์เยอะๆครับ  ซึ่งการแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียวเพื่อหาคำตอบของสมการนั้น มีหลายวิธีครับ อย่างเช่น การแทนค่าตัวเลขต่างๆลงในตัวแปรแล้วดูว่าสมการเป็นจริงไหม ถ้าเป็นจริงแสดงว่าตัวเลขที่เราแทนลงเป็นเป็นคำตอบสมการกำลังสองตัวแปรเดียว แต่วิธีนี้ไม่นิยมครับ มันยากครับวิธีนี้ คงไม่มีใครมานั่งแทนตัวเลขที่ล่ะตัวลงในตัวแปรหรอกน่ะครับ วิธีการที่นิยมใช้กันคือ

1. การแยกตัวประกอบ(แยก factor)

2.การดึงตัวร่วม

3.ใช้ผลต่างกำลังสอง

และอื่นๆ อีกมากมายครับ  ผมว่าเรามาลองทำโจทย์ดีกว่า ครับ

แบบฝึกหัด2.1 ก (คณิตฯเพิ่มเติม)

จงแก้สมการต่อไปนี้

1. x2=−7x$x^2=-7x$

วิธีทำx2=−7x$x^2=-7x$  ข้อนี้ง่ายมากเลยครับ ย้ายให้ไปอยู่ฝั่งเดียวกันก่อนจะได้

x2+7x=0$x^2+7x=0$  เมื่ออยู่ฝั่งเดียวกันแล้ว สังเกตว่าแต่ละพจน์มีตัวแปร x$x$ ร่วมอยู่ด้วยนั้นหมายถึงมี x$x$ เป็นตัวร่วมครับ เราสามารถใช้วิธีการดึงตัวร่วม เพื่อหาคำตอบของสมการกำลังสองตัวแปรเดียวของข้อนี้ได้ครับ ต่อๆๆ...

x(x+7)=0$x(x+7)=0$  ถึงบรรทัดนี้ จะเห็นว่า x$x$  คูณกับ x+7$x+7$ แล้วมีค่าเท่ากับ ศูนย์ สองค่าคูณกันแล้วได้ศูนย์นั่นหมายความว่า

x=0$x=0$  หรือ  x+7=0$x+7=0$ →x=−7$\to x=-7$

ตอนนี้เราได้คำตอบของสมการกำลังสองตัวแปรเดียวสองคำตอบคือ x=0$x=0$ และ x=−7$x=-7$

ง่ายหรือเปล่าครับ อันนี้ผมพยายามอธิบายที่ละ step แล้วน่ะครับ ไม่เข้าใจก็โพสต์ถามได้ครับ

2. r2=100$r^2=100$

วิธีทำ ข้อนี้มองโจทยตอบได้เลยครับ อะไรเอ๋ย ยกกำลังสองแล้วมีค่าเท่ากับ 100$100$

ก็มีอยู่สองค่า คือ 10$10$  กับ −10$-10$  ครับ หรือถ้าจะแสดงวิธีทำก็ใช้วิธีนี้ครับ

r2=100$r^2=100$

r2−100=0$r^2-100=0$

r2−102=0$r^2-{10}^2=0$  

(r−10)(r+10)=0$(r-10)(r+10)=0$  ใช้ผลต่างกำลังสองน่ะครับข้อนี้   หน้า² -  หลัง² = (หน้า - หลัง) (หน้า + หลัง )

จะได้   r−10=0$r-10=0$  หรือ  r+10=0$r+10=0$

r=10$r=10$   หรือ  r=−10$r=-10$

3. (y−13)2=0$(y-13{)}^2=0$

วิธีทำ (y−13)2=0$(y-13{)}^2=0$

(y−13)(y−13)=0$(y-13)(y-13)=0$

จะได้  y−13=0$y-13=0$  นั่นคือ y=13$y=13$

4. x2−2x+1=0$x^2-2x+1=0$

วิธีทำ x2−2x+1=0$x^2-2x+1=0$

(x−1)(x−1)=0$(x-1)(x-1)=0$    ข้อนี้ใช้การแยกตัวประกอบน่ะครับ

จะได้  x−1=0$x-1=0$ นั่นคือ x=1$x=1$

5. x2+4x+4=0$x^2+4x+4=0$

วิธีทำ x2+4x+4=0$x^2+4x+4=0$

(x+2)(x+2)=0$(x+2)(x+2)=0$

จะได้ x+2=0$x+2=0$  นั้นคือ x=−2$x=-2$

6. x2−2x−8$x^2-2x-8$

วิธีทำ x2−2x−8$x^2-2x-8$

(x−4)(x+2)=0$(x-4)(x+2)=0$

จะได้  x−4=0$x-4=0$  หรือ  x+2=0$x+2=0$

นั้นคือ  x=4$x=4$ หรือ  x=−2$x=-2$

7. x2+6x+5$x^2+6x+5$

วิธีทำ x2+6x+5$x^2+6x+5$

(x+5)(x+1)=0$(x+5)(x+1)=0$

จะได้ x+5=0$x+5=0$  หรือ  x+1=0$x+1=0$

นั่นคือ x=−5$x=-5$  หรือ  x=−1$x=-1$

8. p2+5p−14=0$p^2+5p-14=0$

วิธีทำ p2+5p−14=0$p^2+5p-14=0$

(p+7)(p−2)=0$(p+7)(p-2)=0$

จะได้ p+7=0$p+7=0$  หรือ p−2=0$p-2=0$

นั่นคือ p=−7$p=-7$  หรือ p=2$p=2$

9. x2+5x+6=0$x^2+5x+6=0$

วิธีทำ x2+5x+6=0$x^2+5x+6=0$

(x+3)(x+2)=0$(x+3)(x+2)=0$

จะได้ x+3=0$x+3=0$  หรือ x+2=0$x+2=0$

นั่นคือ =−3$=-3$  หรือ x=−2$x=-2$

10. x2−3x−10=0$x^2-3x-10=0$

วิธีทำ x2−3x−10=0$x^2-3x-10=0$

(x−5)(x+2)=0$(x-5)(x+2)=0$

จะได้  (x−5)=0$(x-5)=0$  หรือ (x+2)=0$(x+2)=0$

นั่นคือ x=5$x=5$   หรือ x=−2$x=-2$

11. a2−7a+12=0$a^2-7a+12=0$

วิธีทำ a2−7a+12=0$a^2-7a+12=0$

(a−4)(a−3)=0$(a-4)(a-3)=0$

จะได้ (a−4)=0$(a-4)=0$  หรือ (a−3)=0$(a-3)=0$

นั่นคือ a=4$a=4$ หรือ a=3$a=3$

12. x2+7x+12=0$x^2+7x+12=0$

วิธีทำ x2+7x+12=0$x^2+7x+12=0$

(x+3)(x+4)=0$(x+3)(x+4)=0$

จะได้ (x+3)=0$(x+3)=0$  หรือ (x+4)=0$(x+4)=0$

นั่นคือ x=−3$x=-3$  หรือ x=−4$x=-4$

13.y2−4y+3=0$y^2-4y+3=0$

วิธีทำ y2−4y+3=0$y^2-4y+3=0$

(y−3)(y−1)=0$(y-3)(y-1)=0$

จะได้ (y−3)=0$(y-3)=0$  หรือ (y−1)=0$(y-1)=0$

นั่นคือ y=3$y=3$  หรือ y=1$y=1$

14.−x2+8x−7=0$-x^2+8x-7=0$

วิธีทำ −x2+8x−7=0$-x^2+8x-7=0$

นำ −1$-1$  คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการครับ  เครื่องหมายจะเปลี่ยนน่ะจากลบเป็นบวก  จากบวกเป็นลบจะได้

x2−8x+7=0$x^2-8x+7=0$ ต่อไปก็แก้สมการโดยการแยกตัวประกอบครับ

(x−1)(x−7)=0$(x-1)(x-7)=0$

จะได้  (x−1)=0$(x-1)=0$  หรือ (x−7)=0$(x-7)=0$

นั่นคือ x=1$x=1$  หรือ x=7$x=7$

15.11−10x−x2=0$11-10x-x^2=0$

วิธีทำ 11−10x−x2=0$11-10x-x^2=0$

ก่อนจะแก้สมการควรที่จะเรียงพจน์ใหม่ก่อนน่ะครับ ให้อยู่ในรูป ax2+bx+c=0$a{x}^2+bx+c=0$ ครับ จะได้

−x2−10x+11=0$-x^2-10x+11=0$ จะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของ x2$x^2$ ติดลบน่ะครับ เราต้องทำให้เป็นบวกก่อนน่ะครับ เพื่อความง่ายในการแก้สมการครับ การทำให้เป็นบวกทำได้โดยการนำ −1$-1$ คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการครับ จะได้

x2+10x−11=0$x^2+10x-11=0$

(x+11)(x−1)=0$(x+11)(x-1)=0$

จะได้ (x+11)=0$(x+11)=0$  หรือ (x−1)=0$(x-1)=0$

นั่นคือ x=−11$x=-11$ หรือ x=1$x=1$

16. x2=−8x−16$x^2=-8x-16$

วิธีทำ x2=−8x−16$x^2=-8x-16$

จัดสมการใหม่ก่อนน่ะครับ โดยจัดให้อยู่ในรูป ax2+bx+c=0$a{x}^2+bx+c=0$ ก็คือทำให้ฝั่งขวาของเครื่องหมายสมการเป็นศูนย์นั่นเองครับ จะได้

x2+8x+16=0$x^2+8x+16=0$

(x+4)(x+4)=0$(x+4)(x+4)=0$

จะได้ x+4=0$x+4=0$

นั่นคือ x=−4